Resonancia en circuitos resonantes de RF

En los capítulos anteriores, hemos mencionado la resonancia en los componentes parásitos de los elementos básicos. Ahora vamos a estudiar las causas de la resonancia y cómo aprovecharla.

Resonancia en componentes sin pérdidas

Según la regla de división de voltaje en el diagrama anterior, cuando se coloca un componente de derivación con impedancia \(Z_p\) en la salida de un generador con resistencia interna \(R_s\), el voltaje de salida máximo que se puede obtener en el circuito es:

\[ V_{out}=\frac{Z_p}{R_s+Z_p}(V_{in}) \]

Por lo tanto, \(V_{out}\) siempre es menor que \(V_{in}\). Si \(Z_p\) es una impedancia que varía con la frecuencia (por ejemplo, una impedancia capacitiva o inductiva), entonces \(V_{out}\) también variará con la frecuencia, y la relación entre \(V_{out}\) y \(V_{in}\) será la ganancia del circuito (o en este caso, la pérdida), que también dependerá de la frecuencia. Por ejemplo, si usamos un condensador de 25pF como componente de derivación:

Y trazamos la función \(V_{out}/V_{in}\) (en dB) en función de la frecuencia:

Según la siguiente fórmula:

\[ \frac{V_{out}}{V_{in}}=20\log_{10} \frac{X_C}{R_s+X_C} \]

Donde \(\frac{V_{out}}{V_{in}}\) es la pérdida expresada en dB, \(R_s\) es la impedancia de la fuente y \(X_C\) es la impedancia capacitiva, \(X_C=\frac{1}{j\omega C}\).

La pérdida de este circuito RC aumentará a medida que aumente la frecuencia. Esto forma un simple filtro paso bajo. Es importante tener en cuenta que por cada duplicación de la frecuencia, la pendiente de atenuación disminuirá a una tasa de 6 dB. Esto se debe a un solo componente reactivo en el circuito. A continuación, veremos que para cada componente reactivo importante que agreguemos al circuito, la pendiente de atenuación aumentará en 6 dB adicionales.

Si reemplazamos el condensador del circuito por una bobina de 0.05µH:

Podemos trazar la siguiente curva:

Basado en la siguiente fórmula:

\[ \frac{V_{out}}{V_{in}}=20\log_{10} \frac{X_L}{R_s+X_L} \]

Donde \(X_L\) es la impedancia inductiva, \(X_L=j\omega L\).

Esto forma un filtro paso alto simple con una pendiente de atenuación final de 6 dB/octava.

Usando la fórmula anterior, podemos trazar la respuesta en frecuencia de dos componentes reactivos independientes y opuestos. Si combinamos una bobina y un condensador en la fuente para formar un circuito LC:

Obtendremos la siguiente curva:

Calculado según las siguientes fórmulas:

\[ \because V_{out}=\frac{X_{total}}{R_s+X_{total}}(V_{in}) \]

\[ \because X_{total}=\frac{X_C*X_L}{X_C+X_L} \]

\[ \because X_C=\frac{1}{j\omega C} \]

\[ \because X_L=j\omega L \]

\[ \therefore \frac{V_{out}}{V_{in}}=\frac{j\omega L}{(R_s-\omega^2 R_s L C)+j\omega L} \]

Si lo expresamos en dB, sería:

\[ \frac{V_{out}}{V_{in}}= 20\log_{10} | \frac{j\omega L}{(R_s-\omega^2 R_s L C)+j\omega L} | \]

En la ecuación anterior, cuando nos acercamos a la frecuencia de resonancia del circuito sintonizado, la pendiente de la curva de resonancia aumenta a 12 dB/octava, esto se debe a que ambos componentes reactivos están cambiando a una velocidad de 6 dB/octava y en direcciones opuestas; sin embargo, cuando nos alejamos de la resonancia en cualquier dirección, la curva vuelve a estabilizarse con una pendiente de 6 dB/octava, ya que solo un componente reactivo está en juego, mientras que el otro presenta una impedancia muy alta en estas frecuencias y se puede ignorar en el circuito.

Los filtros RLC se pueden utilizar para seleccionar una frecuencia específica dentro del espectro total de ondas de radio ambientales, y se utilizan como filtros de paso de banda.

Referencias y Agradecimientos

"RF-Circuit-Design (segunda edición) _Chris-Bowick"

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